1. 拉格朗日證明對數(shù)平均不等式

拉格朗日中值定理是微積分中的重要定理之一，大多數(shù)是利用羅爾中值定理構(gòu)建輔助函數(shù)來證明的。

擴(kuò)展資料

　　拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的.整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

　　法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該定理，并進(jìn)行了初步證明，因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

2. 利用拉格朗日定理證明不等式

羅爾定理可知。

fa=fb時(shí)，存在某點(diǎn)e，使f′e=0。

開始證明拉格朗日。

假設(shè)一函數(shù)fx。

目標(biāo)：證明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。

假設(shè)fx來做成一個(gè)毫無意義的函數(shù)，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我們也不知道他能干啥，是我們隨便寫的一個(gè)特殊函數(shù)，我們令它等于Fx。

這個(gè)特殊函數(shù)在于，這個(gè)a和b，正好滿足Fb=Fa，且一定存在這個(gè)a和b。

此時(shí)就有羅爾定理的前提了。

于是得出有一個(gè)e，能讓F′e=0(羅爾定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，

上面求導(dǎo)等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。

將唯一的x帶換成e，并且整個(gè)式子等于0。

變成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→

f′e=(fb-fa)/(b-a)→

f′e(b-a)=(fb-fa)。

擴(kuò)展資料

證明過程

證明：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2. 若 M>m，則因?yàn)?f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個(gè)在 (a,b) 內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點(diǎn)，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

幾何意義

若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對應(yīng)的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于 x 軸。

首先是式子進(jìn)行整理，整理成左邊是式子，右邊是零，其次是構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要等于原來的函數(shù)，這便于用羅爾定理，其次是要找出能使用羅爾定理的最后一個(gè)條件，即兩個(gè)函數(shù)值相等，最后用羅爾定理證明必有一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為零，即得證。

3. 用拉格朗日乘數(shù)法證明均值不等式

拉格郎日乘數(shù)法的適用條件是乘數(shù)不等于0。

求最值（最值是某個(gè)區(qū)間的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多個(gè),所以也不唯一哈,極值是一個(gè)小范圍,很小很小,內(nèi)的最值）.因?yàn)樽钪悼偸前l(fā)生在極值點(diǎn)+區(qū)間邊界點(diǎn)+間斷點(diǎn)處,所以可以用拉朗乘數(shù)求出極值,用邊界和間斷點(diǎn)極限求出可疑極值,比較他們的大小,就可以找到區(qū)間內(nèi)的最值了.特別地,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)用拉朗求出僅一個(gè)極值,切很易判定沒有其他可疑極值點(diǎn),就可以直接判斷那個(gè)極值是最值；或者可以判斷函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)（比如exp（x^2+y^2)在（x>0,y>0)時(shí)單調(diào)遞增）,就不用求極值（因?yàn)闆]有）,直接求區(qū)間邊界（或者間斷點(diǎn),有間斷點(diǎn)也可以單調(diào)的）作為最值。

4. 拉格朗日證明不等式例題

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學(xué)家

物理學(xué)家

代表作品

《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學(xué)分析的開拓者

5. 拉格朗日中值定理證明對數(shù)不等式

●【均值不等式的變形】

(1)對正實(shí)數(shù)a,b，有a^2+b^2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)，a^2+b^2>0>-2ab(2)對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)對負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)對實(shí)數(shù)a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)(5)對非負(fù)數(shù)a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)對非負(fù)數(shù)a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥ab(7)對非負(fù)數(shù)a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^

2(8)對非負(fù)數(shù)a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)對非負(fù)數(shù)a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^22/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）

例一證明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3所以，2√x≥3-1/

x例二長方形的面積為p，求周長的最小值解：設(shè)長,寬分別為a,b，則a*b=p因?yàn)閍+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p周長最小值為4√p例三長方形的周長為p，求面積的最大值解：設(shè)長,寬分別為a,b，則2(a+b)=p因?yàn)閍+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/1粻嘗綱妒蕺德告泉梗滬6面積最大值是p^2/16

6. 拉格朗日中值定理證明對數(shù)平均不等式

log2（x）^2+2log0.5(x)-3

令log2（x）=a，所以long0.5（x）=-a

即a^2-2a-3>=0,a>=3或者a<=-1

所以x>=8或者0<x<=0.5

(log?x)2+2log(0.5)x-3≥0

log(0.5)x=-log?x

原不等式即

(log?x)2-2log?x-3≥0

這是關(guān)于log?x的二次不等式

解得:

log?x≤-1或log?x≥3

∴ log?x≤log?(1/2)或log?x≥log?8

∴0<x≤1/2或x≥8

∴不等式的解集為(0,1/2]U[8,+∞)

7. 用拉格朗日公式證明不等式

1拉格朗日公式

拉格朗日方程

對于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動力方程，通常系指第二類拉格朗日方程,是法國數(shù)學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導(dǎo)出的。通?？蓪懗桑?/p>

式中T為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)qj和各廣義速度q'j所表示的動能；Qj為對應(yīng)于qj的廣義力;N(=3n-k)為這完整系統(tǒng)的自由度；n為系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)；k為完整約束方程個(gè)數(shù)。

插值公式

線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f(x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f(x0)，y1= f(x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式

P1(x) = ax + b

使它滿足條件

P1(x0) = y0P1(x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線，通過已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。

8. 拉格朗日證明不等式的方法

一個(gè)推論,利用拉格朗日恒等式可以證明柯西不等式,好了,下面開始給你證明.‘

有一個(gè)適合中學(xué)生的拉格朗日恒等式:

[(a1)^2+(a2)^2][(b1)^2+(b2)^2]=

[(a1)(b1)+(a2)(b2)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2

[(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2][(b1)^2+(b2)^2+(b3)^2]=

=[(a1)(b1)+(a2)(b2))+(a3)(b3)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+

+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+[(a2)(b3)-(a3)(b2)]^2

[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]=

=[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+

+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2

.

9. 怎么利用拉格朗日證明不等式

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a、b、c），作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中，沒有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方，該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。

10. 用拉格朗日中值定理證明對數(shù)均值不等式

均值不等式的使用條件：

一正：數(shù)字首先要都大于零，兩數(shù)為正

二定：數(shù)字之間通過加或乘可以有定值出現(xiàn)，乘積為定值——可以不是具體的數(shù)字，但在題目中必須是不變的量；

三相等：檢驗(yàn)等號是不是取得到，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等才有不等式的等號成立，一般第三步很容易被忽略，因此這也是均值不等式的易錯點(diǎn)之一。

用均值不等式求函數(shù)的最值，在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：

1、函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；

2、函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；

3、函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值擴(kuò)展資料：均值不等式的常見公式：a^2+b^2 ≥ 2ab√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根號abc均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。

公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。

均值不等式的四大證明方法：

1、直接歸納法

2、取對數(shù)證明法

3、排序不等式法

4、最后一個(gè)證明法