1. 拉格朗日求極值的題型

對(duì)于無約束條件的函數(shù)求極值，主要利用導(dǎo)數(shù)求解法

例如求解函數(shù)f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的極值。步驟如下：

（1）求出f(x,y)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f’x(x,y),f’y(x,y)。

f’x(x,y) = 3x2-8x+2y

f’y(x,y) = 2x-2y

（2）令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0，解方程組。

3x2-8x+2y = 0

2x-2y = 0

得到解為(0,0),(2,2)。這兩個(gè)解是f(x,y)的極值點(diǎn)。

2. 拉格朗日定理求極值

這個(gè)定理是高數(shù)中比較基礎(chǔ)且比較難的問題。一般是證明題中運(yùn)用得比較多。比如說證明一個(gè)不等式。需要用到公式中的，切記這個(gè)是滿足區(qū)間中的任意數(shù)，要正確理解任意的含義。 舉一個(gè)證明的列子，書上也出現(xiàn)過的。證明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個(gè)題，要先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)=lnx,然后運(yùn)用拉格朗日中值定理。

3. 有條件求極值拉格朗日

構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時(shí)a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號(hào)17/2根號(hào)3

a=-4根號(hào)3/根號(hào)17

b=-根號(hào)3/根號(hào)17

4a+b=-根號(hào)51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點(diǎn)的函數(shù)值和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值還有端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較

3、書上說是可能的極值點(diǎn),這個(gè)沒錯(cuò),比如f(x)=x^3,在x=0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)確實(shí)為0,但是不是極值點(diǎn),所以是可能的極值點(diǎn),到底是不是要帶入原函數(shù)再看

4. 拉格朗日求最值的題型

拉格朗日出生在意大利的都靈。由于是長(zhǎng)子，父親一心想讓他學(xué)習(xí)法律，然而，拉格朗日對(duì)法律毫無興趣，偏偏喜愛上文學(xué)。

直到16歲時(shí)，拉格朗日仍十分偏愛文學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)尚未產(chǎn)生興趣。16歲那年，他偶然讀到一篇介紹牛頓微積分的文章《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》，使他對(duì)牛頓產(chǎn)生了無限崇拜和敬仰之情，于是，他下決心要成為牛頓式的數(shù)學(xué)家。

在進(jìn)入都靈皇家炮兵學(xué)院學(xué)習(xí)后，拉格朗日開始有計(jì)劃地自學(xué)數(shù)學(xué)。由于勤奮刻苦，他的進(jìn)步很快，尚未畢業(yè)就擔(dān)任了該校的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。20歲時(shí)就被正式聘任為該校的數(shù)學(xué)副教授。從這一年起，拉格朗日開始研究“極大和極小”的問題。他采用的是純分析的方法。1758年8月，他把自己的研究方法寫信告訴了歐拉，歐拉對(duì)此給予了極高的評(píng)價(jià)。從此，兩位大師開始頻繁通信，就在這一來一往中，誕生了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——變分法。

1759年，在歐拉的推薦下，拉格朗日被提名為柏林科學(xué)院的通訊院士。接著，他又當(dāng)選為該院的外國(guó)院士。

1762年，法國(guó)科學(xué)院懸賞征解有關(guān)月球何以自轉(zhuǎn)，以及自轉(zhuǎn)時(shí)總是以同一面對(duì)著地球的難題。拉格朗日寫出一篇出色的論文，成功地解決了這一問題，并獲得了科學(xué)院的大獎(jiǎng)。拉格朗日的名字因此傳遍了整個(gè)歐洲，引起世人的矚目。兩年之后，法國(guó)科學(xué)院又提出了木星的4個(gè)衛(wèi)星和太陽之間的攝動(dòng)問題的所謂“六體問題”。面對(duì)這一難題，拉格朗日毫不畏懼，經(jīng)過數(shù)個(gè)不眠之夜，他終于用近似解法找到了答案，從而再度獲獎(jiǎng)。這次獲獎(jiǎng)，使他贏得了世界性的聲譽(yù)。

1766年，拉格朗日接替歐拉擔(dān)任柏林科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)。在擔(dān)任所長(zhǎng)的20年中，拉格朗日發(fā)表了許多論文，并多次獲得法國(guó)科學(xué)院的大獎(jiǎng)：1722年，其論文《論三體問題》獲獎(jiǎng);1773年，其論文《論月球的長(zhǎng)期方程》再次獲獎(jiǎng);1779年，拉格朗日又因論文《由行星活動(dòng)的試驗(yàn)來研究彗星的攝動(dòng)理論》而獲得雙倍獎(jiǎng)金。

在柏林科學(xué)院工作期間，拉格朗日對(duì)代數(shù)、數(shù)論、微分方程、變分法和力學(xué)等方面進(jìn)行了廣泛而深入的研究。他最有價(jià)值的貢獻(xiàn)之一是在方程論方面。他的“用代數(shù)運(yùn)算解一般n次方程(n4)是不能的”結(jié)論，可以說是伽羅華建立群論的基礎(chǔ)。

5. 拉格朗日法求極限例題

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè) 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。

這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。

此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

6. 拉格朗日法求極值快速求解

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學(xué)中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法：通過設(shè)F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點(diǎn)求得條件極值的方法

7. 拉格朗日求極值的例題

拉格朗日中值定理可以看成是中間有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于連接起點(diǎn)終點(diǎn)直線的斜率，就是中間那一點(diǎn)的切線斜率等于連接那兩點(diǎn)直線的斜率（就是平行了）

8. 拉格朗日不等式求極值

這里用的是導(dǎo)數(shù)的定義，不是拉格朗日中值定理，雖然有點(diǎn)象，但其本質(zhì)是不一樣的。當(dāng)然，拉格拉日中值定理只要原函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)就可以了，沒有要求導(dǎo)函數(shù)一定要連續(xù)

9. 什么時(shí)候用拉格朗日求極值

判斷是極大值還是極小值點(diǎn)，一個(gè)初步的方法是依靠經(jīng)驗(yàn)和對(duì)問題的認(rèn)識(shí)。當(dāng)不能作出有效判斷時(shí)，可以求取函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，其實(shí)一個(gè)簡(jiǎn)單的方法是比較該極值點(diǎn)的函數(shù)值與相鄰點(diǎn)的函數(shù)來作出判斷。

至于存在不能化為無條件極值的問題，一般是先不管約束條件建立求解極值點(diǎn)的方程，然后再限制在約束條件下求出最后解答，具體的過程，建議參看變分原理等數(shù)學(xué)或力學(xué)書籍，如《計(jì)算動(dòng)力學(xué)》中就有提到，不過這本書不是純粹的數(shù)學(xué)推演。

10. 拉格朗日乘數(shù)法求條件極值例題

拉格朗日乘數(shù)的數(shù)值是按照實(shí)際演算獲取的，不排除為0的可能性。根據(jù)推導(dǎo)過程可知，λ是不可以等于0的。

1.如果等于0，f對(duì)x求導(dǎo)，就是原函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)

2.f對(duì)y求導(dǎo)，就是原函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)

3.上面兩個(gè)式子一般是不可能解出來的 由拉格朗日乘數(shù)法的推導(dǎo)過程可以看出，λ≠0，否則駐點(diǎn)(x0,y0)滿足的式子就變成了

4.f對(duì)x的偏導(dǎo)=0

5.f對(duì)y的偏導(dǎo)=0

6.f對(duì)λ的偏導(dǎo)=0

7.前面兩個(gè)式子一般是不成立的。

8.求z=xy^2在x^2+y^2=1下的極值？一般應(yīng)該是求最大值、最小值！

9.一種方法是化成一元函數(shù)的極值z(mì)＝x(1－x^2)，－1≤x≤1.

10.用拉格朗日乘數(shù)法的話，設(shè)L(x,y)＝xy^2＋λ(x^2＋y^2－1)，解方程組

11.y^2＋2λx＝0

12.2xy＋2λy＝0

13.x^2＋y^2＝1

14.前兩個(gè)方程求出x＝－λ，y^2＝2λ^2，代入第三個(gè)式子得λ＝±1/√3，所以x＝±1/√3，y＝±√(2/3)，比較4個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值可得最大值和最小值